Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của định lý Stokes, khi áp dụng trên mặt phẳng-xy:

Chúng ta có thể mở rộng trường 2 chiều thành một trường trong không gian 3 chiều với thành phần z luôn bằng 0. Gọi F là hàm số vector định nghĩa bởi F = ( L , M , 0 ) {\displaystyle \mathbf {F} =(L,M,0)} . Bắt đầu với vế trái của định lý Green:

∮ C ⁡ ( P d x + Q d y ) = ∮ C ⁡ ( L , M , 0 ) ⋅ ( d x , d y , d z ) = ∮ C ⁡ F ⋅ d r . {\displaystyle \oint _{C}(P\,dx+Q\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}

Theo định lý Stokes thì:

∮ C ⁡ F ⋅ d r = ∬ S ∇ × F ⋅ n ^ d S . {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.}

Mặt S {\displaystyle S} chỉ là một miền D {\displaystyle D} trong mặt phẳng, với vector định chuẩn n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } hướng lên (theo hướng z) để trùng với "định hướng dương" trong cả hai định lý.

Biểu thức bên trong tích phân trở thành

∇ × F ⋅ n ^ = [ ( ∂ 0 ∂ y − ∂ M ∂ z ) i + ( ∂ L ∂ z − ∂ 0 ∂ x ) j + ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) k ] ⋅ k = ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) . {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).}

Do đó mà ta sẽ được vế phải của định lý Green

∬ S ∇ × F ⋅ n ^ d S = ∬ D ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) d A . {\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}